Construindo um hipercubo


Figura 11.1

Observando o método passo a passo usado por Eck para construir um cubo (3D) a partir de um quadrado ("cubo" 2D), seremos capazes de fazer o mesmo no degrau imediatamente acima na escada das dimensões.

Na figura 11.1 vamos ver novamente o que foi feito. Eck já sabia que um cubo é formado por 6 quadrados colados pelas arestas. No primeiro passo, ele escolheu um dos 6 quadrados (verde) para ficar fixo durante todo o processo. No segundo passo, o quadrado fixo recebeu uma colagem de outros 4 quadrados (roxos), para que ficasse cercado por todos os seus lados. Assim, 5 quadrados ficaram unidos por arestas comuns, enquanto o sexto quadrado (vermelho) ficou afastado, sem uso. No terceiro passo, os 4 quadrados móveis anexados ao fixo sofreram rotações de 90 graus em torno das arestas de junção, tomando posições que os levaram para fora do espaço 2D, formando uma caixa 3D aberta. Finalmente, no quarto passo, aquele quadrado isolado (vermelho) foi usado como uma tampa. Ele saiu totalmente do espaço 2D e foi fechar a caixa com perfeição, formando o cubo.

É interessante pensarmos sobre o que Eck de fato veria se pudesse realizar fisicamente esse método imaginário de construção com 6 quadrados reais de seu universo. É fácil perceber que nada de estranho aconteceria nos dois primeiros passos, já que todos os quadrados estariam ainda no mesmo plano (universo 2D de Eck). Mas, no terceiro passo, tão logo aqueles 4 quadrados que estão colados ao fixo começassem a girar em torno das arestas de junção, mesmo que por um ângulo muito pequeno, eles não mais seriam vistos. Eles desapareceriam por completo, por terem avançado para a terceira dimensão. Ficariam visíveis somente os quadrados verde e vermelho. No quarto passo, o quadrado vermelho também desapareceria, deixando visível apenas o verde, que seria o único a continuar pertencendo ao plano de Eck.

Como exercício de visualização, encontre no objeto plano composto, formado no segundo passo da figura 11.1, quais arestas dos 4 quadrados giratórios vão se tornar verticais e ficar coladas a outras arestas no terceiro passo. Identifique também quais vão se tornar as arestas livres da boca da caixa 3D aberta. Faça o mesmo com os vértices, para saber quais ficarão coincidentes após a rotação. Figura 11.2 Note que a boca aberta da caixa 3D criada no terceiro passo tem exatamente o formato quadrado necessário para que se cole a tampa no quarto passo.

Vamos agora usar a imaginação e subir a escada das dimensões. Já sabemos que um hipercubo (4D) é formado por 8 cubos (3D) colados pelas suas faces quadradas, duas a duas. Então, no primeiro passo (figura 11.2), escolhemos um deles (verde) para ficar fixo durante todo o processo. No segundo passo (figura 11.3), o cubo fixo recebe uma colagem de outros 6 cubos (roxos), para que fique cercado por todos os seus lados. Assim, 7 cubos ficam unidos por faces comuns, enquanto o oitavo cubo (vermelho) fica afastado, ainda sem uso. No terceiro passo (sem figura), os 6 cubos móveis anexados ao fixo sofrem rotações de 90 graus em torno das faces de junção, tomando posições que os levam para fora do nosso espaço 3D, formando uma caixa 4D aberta. Finalmente, no quarto passo (sem figura), aquele cubo isolado (vermelho) é usado como uma tampa. Ele sai totalmente do espaço 3D e vai fechar a caixa com perfeição, formando o hipercubo.

Se pudéssemos realizar fisicamente esse método imaginário de construção com 8 cubos reais em nosso espaço 3D, nada de estranho aconteceria nos dois primeiros passos, já que todos os cubos continuariam aqui conosco, como mostram as figuras 11.2 e 11.3, mas, no terceiro passo, tão logo aqueles 6 cubos que estão colados ao fixo começassem a girar em torno das faces de junção, mesmo que por um ângulo muito pequeno, eles não mais seriam vistos. Eles desapareceriam por completo, por terem avançado para a quarta dimensão. Ficariam visíveis somente os cubos verde e vermelho. No quarto passo, o cubo vermelho também desapareceria, deixando visível apenas o verde, que seria o único a continuar pertencendo ao Universo. É justamente por não podermos mostrar os cubos "lá fora" que não foram feitas figuras para os passos 3 e 4.

Como exercício de visualização, olhe para o objeto 3D composto, formado na figura 11.3, e descubra quais faces dos 6 cubos giratórios vão ser coladas a outras faces no terceiro passo. Figura 11.3 Identifique quais delas vão ser as faces livres da boca da caixa 4D aberta. Faça o mesmo com as arestas e os vértices, para saber quais ficarão coincidentes após a rotação. Note que a boca aberta da caixa 4D, criada no terceiro passo, tem exatamente o formato cúbico necessário para que se cole a tampa no quarto passo.

Depois desse esforço de imaginação, você deve estar se sentindo um pouco mais capaz de compreender a geometria de um hipercubo. Você já consegue "sentir" como aquelas 8 células cúbicas se ajustam tão bem para cercar um hipervolume no espaço 4D?

Com a intenção de ter algo ainda mais palpável, podemos agora projetar um hipercubo sobre o Universo (nosso espaço 3D). Vamos tentar "ver" o hipercubo pelo estudo de sua sombra. A idéia básica é imaginar uma fonte de luz colocada logo "acima" de um hipercubo que foi construído com peças de montar e posicionado de forma a ter duas de suas células cúbicas paralelas ao nosso espaço 3D. A sombra 3D criada (figura 11.4) mostra dois cubos, um dentro do outro, com seus vértices correspondentes ligados. Esse objeto foi construído com material transparente, para que seu interior ficasse visível.

O entendimento dessa projeção fica mais simples se você fizer a analogia com aquele cubo iluminado que lançava uma sombra sobre o plano de Eck. Note que, para nós, a hiperlâmpada e o hipercubo ficam fora do Universo. A hiperlâmpada fica mais afastada e lança a sombra do hipercubo sobre o Universo. Somente vemos essa sombra 3D, que embora seja uma imitação achatada do hipercubo, nos dá indicações preciosas sobre ele.

Com um certo empenho de nossa parte seremos capazes de identificar os diversos elementos geométricos do hipercubo e de descobrir como estão ligados entre si. Olhando para o objeto 3D da figura 11.4, percebemos que os dois cubos são as sombras das duas células do hipercubo que ficam em espaços 3D paralelos ao nosso. Por analogia, sabemos que o cubo menor (interior) é a sombra da célula que está mais próxima de nós, enquanto o cubo maior (exterior) é a sombra da célula mais distante e, portanto, mais próxima da fonte de luz. Além desses Figura 11.4 dois cubos, aparecem na projeção mais 6 regiões, com formato de pirâmides truncadas. Estas são as sombras das 6 células cúbicas do hipercubo que estão em espaços 3D que formam ângulos de 90 graus com o nosso.

Olhando para a mesma figura com atenção, identificamos 16 vértices, que são os 8 do cubo interno mais os 8 do cubo externo. Podemos ver também 32 arestas, que são as 12 do cubo interno, mais as 12 do cubo externo e mais as 8 de ligação entre esses 2 cubos. É possível identificar também 24 faces quadradas, que são as 6 do cubo interno, mais as 6 do cubo externo e mais as 12 que são as faces laterais das pirâmides, com formato de trapézios. Assim, conseguimos saber quantos elementos geométricos de cada tipo tem o hipercubo: 16 vértices (0D), 32 arestas (1D), 24 faces quadradas (2D) e 8 células cúbicas (3D) que encerram 1 hipervolume (4D).

Pela observação desse mesmo objeto 3D que construímos, é possível perceber outras propriedades do hipercubo. Podemos ver que cada vértice está em 4 arestas, que cada vértice está em 6 faces, que cada vértice está em 4 células, que cada aresta está em 3 faces, que cada aresta está em 3 células e que cada face está em 2 células, tudo concordando plenamente com o que já havíamos calculado antes.

Considere-se uma pessoa privilegiada por ter ficado consciente sobre a existência dessa realidade lógica que ultrapassa o nosso próprio espaço 3D. Ela é tão maior que poderia abrigar em seu interior uma quantidade infinita de universos como o nosso, lado a lado, sem que se tocassem. Nela, os poliedros de nosso mundo são como fatias finas que podem formar ângulos uns com os outros, enquanto giram em torno de faces planas comuns. O hipercubo faz parte dessa outra realidade e jamais poderá mostrar-se a nós por inteiro. Dele só podemos ter uma pálida idéia, através do raciocínio analógico e do estudo de sua sombra tridimensional. Ainda assim, ele é tão real para as inteligências 4D como o cubo 3D é real para qualquer um de nós.



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