As noções de espaço e de dimensão são relativamente simples e intuitivas. A melhor maneira de lidar com elas é através do uso e da análise cuidadosa de exemplos. Portanto, você só precisa entender (ou "sentir") o que essas coisas significam e deixar as definições formais para os matemáticos.

A figura 1.1 mostra quatro objetos em cima de uma mesa. Eles não são como os objetos comuns que conhecemos, porque não têm estrutura atômica, granular. São contínuos, geométricos, criados pela mente humana, porque fazem parte do mundo da Matemática. Temos ali um ponto, uma reta, um quadrado e um cubo, representando, respectivamente, os espaços de zero, de uma, de duas e de três dimensões. Pensemos sobre eles.

Um ponto não tem dimensões. Por mais que tentássemos visualizá-lo em um microscópio, e por maior que fosse a ampliação da imagem, ele continuaria sendo sempre um ponto, invisível. Simplesmente, ele não aumentaria de tamanho, porque nada mede. Da mesma forma como zero multiplicado por qualquer número vai dar sempre zero, ele continua como é. O ponto é um espaço 0D (zero D).

Uma reta tem apenas uma dimensão. Podemos dar o nome de comprimento à medida do segmento (parte, pedaço) de reta. Mas uma reta é infinitamente fina. Assim, se pudesse ser colocada num microscópio, somente pareceria crescer em comprimento, continuando com a mesma finura nula. Um segmento de reta é parte de um espaço 1D (reta infinita) e poderia ser medido em metros, polegadas ou jardas.

Um plano tem duas dimensões. Podemos dar o nome de comprimento e largura aos lados do quadrado, o qual não tem a outra dimensão dos objetos com que estamos acostumados, chamada de altura. Ele é como uma folha de papel infinitamente fina. Ao microscópio continuaria não apresentando aquela altura. Ele é parte de um espaço 2D (plano infinito) e poderia ser medido em metros quadrados, hectares ou alqueires (ele tem área).

Um espaço como este em que vivemos tem três dimensões. Podemos dar o nome de comprimento, largura e altura às dimensões do cubo (maciço). Ele é parte de um espaço 3D (espaço infinito), poderia ser medido em metros cúbicos, litros ou galões (ele tem volume) e se assemelha muito aos objetos de nosso mundo físico.

Note que um ponto pode ser colocado em uma reta, em um plano ou em um espaço como o nosso. Há lugar para ele, com muita folga. Uma reta pode ser colocada sobre outra, em um plano ou em nosso espaço (3D). Um quadrado pode ser colocado sobre um plano ou em um espaço (3D). Mas não é possível encaixar um objeto em um espaço que tenha um número menor de dimensões. Assim, uma reta não cabe em um ponto, um cubo não cabe em um plano nem em uma reta, etc.

O ponto, o segmento de reta, o quadrado e o cubo são os melhores representantes de seu número de dimensões, mas podemos imaginar também objetos muito diferentes colocados, principalmente, nos espaços 2D e 3D, como triângulos e esferas, porque, quanto mais dimensões tiver um espaço, mais variedade de formas teremos. Você pode notar essa variedade facilmente, observando que os pontos são todos iguais, que as retas diferem apenas em seus comprimentos, que os objetos do espaço 2D já são ricos em exemplos, podendo apresentar buracos, e que os sólidos do espaço 3D são incrivelmente mais variados, permitindo até que você imagine alguns com um nó. A figura 1.2 mostra alguns deles e não deve mais deixar dúvidas sobre o significado do número de dimensões. Nela, os objetos de mesma cor têm também o mesmo número de dimensões (azul=0, preto=1, vermelho=2, verde=3).