A construção de um cubo (3D) é muito simples e dispensa comentários, mas quem vai realizar essa tarefa é Eck, nosso amigo 2D que não vê objetos 3D. Ele vai estudar o problema análogo, no degrau logo abaixo na escada das dimensões, para encontrar um método geral e depois aplicá-lo ao seu caso.

Eck vai construir primeiro um quadrado ("cubo" 2D), partindo do segmento ("cubo" 1D). Ele sabe que o quadrado é formado com 4 segmentos de comprimentos iguais, já que é um objeto geométrico comum em seu universo. Um método passo a passo para construção é visto na figura 10.1, onde 4 segmentos separados e pertencentes a um espaço 1D são colados para formar um quadrado que se estende para a segunda dimensão.

No primeiro passo, um dos segmentos (verde) é escolhido para ficar fixo durante todo o processo. Ele vai ser a base do quadrado e continuará pertencendo ao espaço 1D até o final da aplicação do método. No segundo passo, esse segmento fixo recebe uma colagem de outros segmentos (roxos), para que fique cercado por todos os seus lados. Esses lados são 2 e os seus elementos de fronteira são vértices. Assim, 3 segmentos ficam unidos por vértices comuns, enquanto o quarto segmento (vermelho) fica afastado, ainda sem uso. No terceiro passo, os 2 segmentos móveis anexados ao fixo sofrem rotações de 90 graus em torno dos vértices de junção, tomando posições que os levam para fora do espaço 1D, formando um objeto que pode ser considerado como uma caixa 2D aberta. Finalmente, no quarto passo, aquele segmento isolado (vermelho) é usado como uma tampa. Ele sai totalmente do espaço 1D e vai fechar a caixa com perfeição, formando o quadrado.

Eck usa o mesmo método passo a passo para construir um cubo (3D) em sua imaginação (figura 10.2). Ele sabe que o cubo é formado com 6 quadrados ("cubos" 2D), que inicialmente estão todos separados no mesmo plano (seu espaço 2D), mas que devem ser colados para formar um cubo, que se estende para a terceira dimensão.

No primeiro passo, um dos quadrados (verde) é escolhido para ficar fixo durante todo o processo. Ele vai ser a base do cubo e continuará pertencendo ao espaço 2D até o final da aplicação do método. No segundo passo, esse quadrado fixo recebe uma colagem de outros quadrados (roxos), para que fique cercado por todos os seus lados. Esses lados são 4 e os seus elementos de fronteira são arestas. Assim, 5 quadrados ficam unidos por arestas comuns, enquanto o sexto quadrado (vermelho) fica afastado, ainda sem uso. No terceiro passo, os 4 quadrados móveis anexados ao fixo sofrem rotações de 90 graus em torno das arestas de junção, tomando posições que os levam para fora do espaço 2D, formando um objeto que pode ser considerado como uma caixa 3D aberta. Finalmente, no quarto passo, aquele quadrado isolado (vermelho) é usado como uma tampa. Ele sai totalmente do espaço 2D e vai fechar a caixa com perfeição, formando o cubo.

Depois desse exercício de imaginação, Eck acredita estar um pouco mais capacitado para compreender a geometria de um cubo. Ele já consegue "sentir" como suas partes quadradas se ajustam tão bem para cercar um volume no espaço 3D.

Com a intenção de ter algo ainda mais palpável, Eck pretende agora projetar um cubo sobre um plano (seu espaço 2D). Ele vai tentar imaginar o cubo pelo estudo de sua sombra. A figura 10.3 mostra como isso é simples para nós, seres 3D. Nela, uma fonte de luz foi colocada logo acima de um cubo que foi construído com peças de montar e posicionado de forma a ter duas faces paralelas ao plano do chão. A sombra criada mostra dois quadrados, um dentro do outro, com seus vértices correspondentes ligados.

Após fazer um estudo analógico do mesmo problema num espaço 1D (tente você também), Eck o transporta para o degrau logo acima na escada das dimensões e consegue construir a projeção procurada. Ele utiliza material transparente, para poder ver seu interior. Ele espera poder identificar os diversos elementos geométricos do cubo por meio da análise dessa projeção. Olhando para o objeto (figura 10.4), Eck percebe que os dois quadrados são as sombras das duas faces do cubo que ficam em planos paralelos ao seu universo. Ele sabe que o quadrado menor (interior) é a sombra da face que está mais próxima de seu espaço 2D, enquanto o quadrado maior (exterior) é a sombra da face mais distante desse plano e mais próxima da fonte de luz. Além desses dois quadrados, aparecem na projeção mais quatro regiões, com formato de trapézios. Eck entende que estas são as sombras das quatro faces quadradas do cubo que estão em planos perpendiculares ao seu universo.

Eck olha para a figura com atenção e identifica 8 vértices, que são os 4 do quadrado interno mais os 4 do quadrado externo. Ele pode ver também 12 arestas, que são as 4 do quadrado interno, mais as 4 do quadrado externo e mais as 4 de ligação entre esses 2 quadrados. Assim, ele consegue saber quantos elementos geométricos de cada tipo tem o cubo: 8 vértices (0D), 12 arestas (1D) e 6 faces quadradas (2D) que encerram 1 volume (3D).

Pela observação desse mesmo objeto 2D que Eck construiu, é possível perceber outras propriedades do cubo. Ele vê facilmente que cada vértice está em 3 arestas, que cada vértice está em 3 faces e que cada aresta está em 2 faces, tudo concordando perfeitamente com o que ele já havia calculado antes.