Agora que você já entendeu o que são as dimensões, vamos pensar um pouco mais sobre o ponto, a reta, o quadrado e o cubo, colocados sobre aquela mesa e mostrados novamente aqui, na figura 2.1, como exemplos de objetos de zero, uma, duas e três dimensões. Eles foram movidos para dar lugar, à direita do cubo, ao próximo objeto da seqüência, que deve ter quatro dimensões.

Observe que existe uma lógica de construção de um objeto a partir do anterior, da esquerda. Se o ponto se deslocar para a direita, no sentido do comprimento da mesa, traçando sua trajetória sobre ela, ele vai gerar o segmento de reta. Se o segmento de reta se deslocar para trás, no sentido da largura da mesa, ele vai gerar o quadrado. Se o quadrado se deslocar para cima, perpendicularmente à mesa, vai gerar o cubo. Assim, se quisermos saber qual o próximo elemento da fila de objetos, teremos apenas que deslocar o cubo numa direção apropriada e observar qual objeto ele gera.

Para criar a reta, fomos para a direita. Para criar o quadrado, fomos para trás. Para criar o cubo, fomos para cima. Estas são as três direções independentes do espaço em que vivemos, que são perpendiculares entre si. Se quisermos agora gerar o objeto 4D (quadridimensional), teremos que mover o cubo numa nova direção, ainda não usada, que seja perpendicular às três direções anteriores. Percebeu a lógica? Vamos repetir. Quando geramos a reta, levamos o ponto para a direita e usamos a primeira direção. Quando geramos o quadrado, levamos a reta para trás e usamos a segunda direção, que é perpendicular à primeira. Quando geramos o cubo, levamos o quadrado para cima e usamos a terceira direção, que é perpendicular às duas anteriores. É por isso que o movimento do cubo deve ser feito agora em uma nova direção, que seja perpendicular às três direções anteriores, que já usamos. Mas é justamente aí que surge o grande problema, porque não temos mais para onde ir.

A figura 2.2 mostra um canto de parede com eixos que apontam para as três direções independentes do nosso espaço 3D, com as quais estamos habituados. Damos o nome de origem ao ponto onde os três eixos se juntam. É aquele lugar que está, ao mesmo tempo, no chão, numa parede e na outra. Tente imaginar um quarto eixo que passe pela origem e seja perpendicular aos três eixos já desenhados (X, Y e Z). Por mais que você procure, não vai encontrar. Não há lugar para ele, ou, melhor dizendo, não há espaço para ele. Falta uma dimensão espacial extra, a quarta, para conter o novo eixo. Por isso dizemos que vivemos em um espaço de três dimensões (três direções espaciais independentes, perpendiculares entre si).

Essa limitação parece ser definitiva, fisicamente inviolável. Porém, a mente humana é rebelde e não aceita a imposição de grilhões com facilidade. Então, há muito tempo, questionou-se se o fato de não conseguirmos traçar o quarto eixo não estaria ligado apenas a uma característica física do nosso espaço. Assim, nesse modo de ver, o próprio espaço em que estamos seria o limitador, responsável pela inexistência de objetos 4D dentro dele, já que não podemos colocar objetos em espaços com um número menor de dimensões. Daí vêm algumas perguntas inevitáveis. Será que não poderia haver outros espaços (universos) com um número de dimensões superior a três? Não estaríamos apenas incapacitados de imaginar objetos com quatro ou mais dimensões porque nunca os vimos antes, já que não cabem no Universo? Será que não poder ver esses objetos multidimensionais nos cria barreiras intransponíveis à tarefa de descobrir suas propriedades geométricas?

Embora estejamos definitivamente condenados a nunca ver coisas de quatro dimensões, é possível imaginarmos as suas características, algumas com facilidade. A análise simples nos dá um exemplo. Se a reta tem comprimento medido em metros, o quadrado tem área medida em metros quadrados e o cubo tem volume medido em metros cúbicos, o próximo objeto da série é algo a que chamamos de hipercubo e tem um hipervolume medido em metros elevados à quarta potência. Dá para ver isso? Não, impossível, mas existe uma lógica muito forte para sustentar essa afirmação, como você pode perceber se colocar a seqüência em uma tabela.

Um hipercubo tem uma dimensão extra, a quarta. Ele é muito mais do que um cubo. Para ter uma pálida idéia do que ele é, saiba que um hipercubo é tão mais do que um cubo quanto um cubo é mais do que um quadrado. Se você fatiar um cubo com cortes planos paralelos a uma face, pode obter uma infinidade de quadrados. Da mesma forma, se você fatiar um hipercubo adequadamente, pode obter uma infinidade de cubos. O problema aqui é que, se você usou um plano (2D) para cortar um cubo, vai ter que usar um espaço 3D (hiperplano) para cortar um hipercubo. Se a sombra de um cubo é uma figura plana, com área (2D), então a sombra de um hipercubo é um sólido comum, com volume (3D). Como a sombra de um cubo pode ser um quadrado, a sombra de um hipercubo pode ser um cubo, dependendo apenas das circunstâncias. Mas, se você projetou a sombra de um cubo sobre um plano, vai ter que projetar a sombra de um hipercubo sobre um espaço tridimensional.

Muito difícil? Bem, o truque é procurar por analogias e depois aumentar o número de dimensões. Vejamos o exemplo da figura 2.3. Você pode desenhar vários pontos em uma reta, várias retas paralelas em um plano e vários planos paralelos em um espaço 3D. Acrescentando mais uma dimensão, você conclui que pode desenhar vários hiperplanos (espaços 3D) paralelos em um espaço 4D. É estranho para nós, porque o espaço 3D é tudo, não parecendo que possa existir lugar para mais de um. Mas, se vivêssemos achatados em um plano (espaço 2D), nós também iríamos estranhar a idéia de que vários planos paralelos pudessem ser colocados em um espaço 3D. Para nós, o plano seria tudo. Por isso podemos imaginar a existência de um quarto eixo, que se dirige para fora do nosso espaço 3D (Universo) do mesmo modo como um terceiro eixo se dirige para fora de um plano, perpendicularmente a ele.

As figuras planas são para nós como sombras (que têm área) amassadas em um espaço 2D, como fatias finas de objetos 3D. Então, na opinião de uma criatura que viva em um universo 4D, nós somos também como sombras (que têm volume) amassadas em um espaço 3D, como fatias finas de objetos 4D. Mas, se você se preocupa com o grande volume do seu corpo e não consegue compreender como ele pode ter, ao mesmo tempo, uma medida esteticamente exemplar (igual a zero), lembre-se de que você se achata somente na quarta direção, tendo uma obesidade evidente em cada uma das outras três, da mesma maneira que um quadrado é achatado na terceira direção (altura nula) mas tem medidas substanciais nas outras duas (comprimento e largura). Pegou o jeito de raciocinar?

Nada existe nas teorias matemáticas que limite em três o número máximo de dimensões de um espaço. Se representamos os pontos de um plano em coordenadas cartesianas com dois números, podemos representar pontos do espaço 3D com três e do espaço 4D com quatro. Se as equações com duas variáveis representam gráficos de linhas (1D) colocadas em um plano (eixos X e Y), então as equações com três variáveis representam gráficos de superfícies (2D) colocadas em um espaço 3D (eixos X, Y e Z) e as equações com quatro variáveis representam gráficos de espaços 3D (hipersuperfícies) colocados em um espaço 4D (eixos X, Y, Z e H, por exemplo). Tudo muito fácil, a menos que você tente visualizar as formas físicas desses hiperobjetos. Matematicamente falando, o jeito de se trabalhar com muitas dimensões não é diferente daquele que utilizamos para trabalhar com poucas.

Os objetos de quatro dimensões são muito mais complexos do que os que existem no nosso espaço de apenas três. Com uma dimensão a mais, surgem novas características e propriedades interessantes, que são estudadas e conhecidas há muito tempo pelos matemáticos. Um exemplo curioso é o da existência dos politopos convexos regulares, versões 4D dos nossos cinco famosos poliedros convexos regulares (da figura 2.4). Mas os politopos regulares do espaço 4D são seis. Um deles é o já citado hipercubo, ao qual voltaremos mais tarde.